المنطق الرياضي

فهرست

1 عناصر المنطق
2 مدخل عام
3 جملة
4 عبارة
- 4.1 روابط منطقية
5 النفي
6 العطف
7 الفصل
8 الاستلزام
9 التكافؤ
- 9.1 القوانين المنطقية
- 9.2 الدوال العبارة. استعمال العموميات
10 دوال العبارة
11 العموميات
12 العموميات و الروابط المنطقية
- 12.1 تطبيق على نظرية المجموعات
- 12.2 الاستلزام و التضمن
- 12.3 مجموعة الأجزاء
13 مجموعة الأجزاء
14 التساوي و التكافؤ
15 المتمم و النفي
16 التقاطع و العطف
17 الاتحاد و الفصل
18 خاصيات عطف التقاطع و الاتحاد في مجموعة الأجزاء
19 الفرق
20 الفرق المتماثل
- 20.1 تطبيق في البرهنة الرياضية

عناصر المنطق

مدخل عام

جملة

الجملة في مجموعة حروف و رموز لها معنى, مثال:

2+3=5
5+9=48

من الممكن دراسة هذه العبارات من وجهات نظر مختلفة, مثلا المتغيرات تأخد قيما متعددة نرمز لها عادة ب x . كما يمكن دراسة صحة أو خطأ العبارة.

عبارة

تصبح الجملة عبارة إذا أمكن معرفة صحة أو خطأ العبارة

روابط منطقية

النفي

نفي العبارة P هي عبارة صحيحة إذا كانت P خاطئة, و خاطئة إذا كانت P صحيحة. و نرمز لنفي P ب $\neg P$ .

جدول الحقيقة
P	$\neg P$
0	1
1	0

العطف

عطف العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت العبارتين معا صحيحتين. ونرمز له ب $P \wedge Q$

جدول الحقيقة
P	Q	$P \wedge Q$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

الفصل

فصل العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت إحدى العبارتين صحيحة. ونرمز له ب $P \vee Q$

جدول الحقيقة
P	Q	$P \vee Q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

الاستلزام

تكون العبارة P تستلزم Q , خاطئة فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة.

و نرمز لها ب: $Q \Leftarrow P$ و هي تكافئ العبارة: $\neg P \vee Q$ .

جدول الحقيقة
P	Q	$Q \Leftarrow P$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

التكافؤ

تكافؤ العبارتين $P\,$ و $Q\,$ هو $(Q \Leftarrow P) \wedge (P \Leftarrow Q)$ , و نرمز له ب: $Q \Leftrightarrow P$

جدول الحقيقة
P	Q	$Q \Leftrightarrow P$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

القوانين المنطقية

القوانين المنطقية عبارة عن جمل مكونة من عدة عبارات مرتبطة فيما بينها بروابط منطقية و تكون دائما صحيحة بغض النظر عن صحة أو خطأ العبارات المكونة لها.

أمثلة:

$\neg (\neg P) \Leftrightarrow P$
$(P \wedge Q) \Leftrightarrow (Q \wedge P)$
$\neg (P \wedge Q) \Leftrightarrow (\neg P) \vee (\neg Q)$
$\neg (P \vee Q) \Leftrightarrow (\neg P) \wedge (\neg Q)$

المثالين الأخيرين, يعرفان بقوانين مرجان morgan.

الدوال العبارة. استعمال العموميات

دوال العبارة

الدالة العبارة, هي تطبيق من مجموعة قيم المتغيرات نحو مجموعة مكونة من العنصرين صحيح و خطأ.

مثال:

بالنسبة للعبارة: "x عدد صحيح طبيعي, x+3=10." نحصل على دالة من $\mathbb{N}\$ إلى $\{0,1\}\,$ بحيث:

$\begin{matrix} \mathbb{N}\ \rightarrow \{0,1\} \\ 0 \mapsto 0 \\ 7 \mapsto 1 \end{matrix}$

العموميات

هناك نوعان وجودية و كونية.

الوجودية تعني وجود عناصر تحقق عبارة ما, مثل يوجد x من $\mathbb{N}\$ بحيث: $x^2-1=0 \,$

نرمز للوجودية بالرمز $\exists$ .

الكونية تعني أن عبارة ما تكون دائما صحيحة مهما تغيرت قيمة المتغير, مثل كيما كانت قيمة x من $\mathbb{R}\$ لدينا $(x+1)^2=x^2+2x+21 \,$

نرمز للكونية بالرمز $\forall$ .

العموميات و الروابط المنطقية

عندما يكون هناك وجوديات, النفي يعبر عنه ب:

$\neg [(\forall x \in\ E) A(x)] \Leftrightarrow [(\exists x \in\ E) \neg A(x)]$

$\neg [(\exists x \in\ E) A(x)] \Leftrightarrow [(\forall x \in\ E) \neg A(x)]$

مع E مجموعة تتضمن الخاصية A.

تطبيق على نظرية المجموعات

هناك علاقة بين نظرية المجموعات و المنطق.

الاستلزام و التضمن

نسمي جزء A(أو مجموعة صغرى) لمجموعة E كل عناصر المجموعة A التي تنتمي إلى E.

و نكتب:

$A \subset E$

نقول أن المجموعة A ضمن المجموعة E, يكافئ أن كل عنصر x من A, يستلزم أن xينتمي إلى E.

مجموعة الأجزاء

كل مجموعة لها عدة أجزاء, و هذه الأجزاء تكون مجموعة الأجزاء.

التساوي و التكافؤ

المجموعة A تساوي المجموعة B, تكافئ لكل x من x :E من A يكافئ x من B.

المتمم و النفي

متمم الجزء A, هو الجزء B الذي عناصره لا تنتمي إلى A.

x ينتمي إلى A, يكافئ x لا ينتمي إلى B.

التقاطع و العطف

تقاطع المجموعتين A و B, هي مجموعة العناصر المشتركة C, التي نرمز لها ب: $A \cap B\,$ .

x من C يكافئ: x من A و x من B.

الاتحاد و الفصل

اتحاد المجموعتين A و B, هي المجموعة C التي عناصرها تنتمي إلى أحد المجموعتين, و التي نرمز لها ب: $A \cup B$ .

x من C يكافئ: x من A أو x من B.

خاصيات عطف التقاطع و الاتحاد في مجموعة الأجزاء

الفرق

الفرق المتماثل

تطبيق في البرهنة الرياضية

تصنيف الصفحة: رياضيات

المصدر : من موقع ويكيبيديا - الموسوعة الحرة - http://ar.wikipedia.org